> ③Firefox のブラウザーを Inspect で開くと、 FrameworkId が "Gecko" と表示されるが
> 　プログラムから取得した FrameworkId は "Win32" となる

Inspect.exe (Visual C++ 製) や VBA の場合は FrameworkId: "Gecko" だったので、
上記は COM と .NET の差で生じた問題なのだろうと予想しましたが……。

VisualUIAVerifyNative.exe (C#, WinForms) や 
AccessibilityInsights.exe (C#, .WPF) においても、
FrameworkId は "Gecko" と表示されていました。
https://learn.microsoft.com/ja-jp/windows/win32/winauto/ui-automation-verify
https://accessibilityinsights.io/

これらは .NET (System.Windows.Automation) を使っているという点は同じはずなのに、
なぜ自分の環境では "Win32" 表記なのか…なかなか奥が深いです。


上記以外にも、C# と PowerShell で結果が異なる事象がある模様。
https://qiita.com/mima_ita/items/3f2aa49fceca7496c587