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(3) 型の不整合について
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コード中に、いわゆる「暗黙の型変換」が散見されます。

DatabaseOperation クラス - Function SqlSelect
　現行版：Dim rd = command.ExecuteScalar
　修正案：Dim rd = DirectCast(command.ExecuteScalar(), T)


DBSectionOperation クラス
　現行版：Private Property BookCode
　変更案：Private Property BookCode As Integer

　現行版：Friend Sub AddPluralSections(newSectionName, newNote, dtSection)
　変更案：Friend Sub AddPluralSections(newSectionName As String, newNote As String, dtSection As DataTable)


ExampleToHtml クラス
　現行版：Protected Overloads Function SetBaseText(sourceDt As DataTable, language As Language)
　変更案：Protected Overloads Function SetBaseText(sourceDt As DataTable, language As Language) As String


DBSectionOperation クラス - Function WordsInTheSection
　現行版：Return (From r As DataRow In dt.Rows Select CStr(r.Item("entry"))).ToList
　変更案1:Return (From r In dt Select CStr(r.Item("entry"))).ToList()
　変更案2:Return (From r In dt.AsEnumerable() Select CStr(r.Item("entry"))).ToList()
　変更案3:Return (From r In dt.Rows.OfType(Of DataRow)() Select CStr(r.Item("entry"))).ToList()
→元のコードだと、Object 型から DataRow 型への暗黙のボックス化解除が発生してしまいます。
　変更案の方法であれば最初から DataRow 型のまま取り出せるので、r As DataRow と書く必要がありません。


DefinitionToHtml クラス - Property ModifyingWays
　現行版：New HowToModify({italic}, ("⇒", ""))
　変更案1:New HowToModify({italic}, ("⇒"c, " "c))
　変更案2:New HowToModify({italic}, ("⇒"c, ControlChars.NullChar))
→ここはちょっと悩みどころ。
　まず、Char 型に対するリテラルは「"⇒"」ではなく「"⇒"c」表記です。
　そして Char 型は常に「1文字」なので、「0文字」である "" や、2文字以上の文字列は渡せません。
　もしも 0 文字や 2 文字などにすることがあり得るのであれば、
　As Char ではなく As String で受ける必要があるでしょう。
　ですから実際には、上記訂正案のように呼び出し側を Char 表記に揃えるのではなく、
　呼び出される側となる HowToModify クラスの方を
　「parenthes As (Char, Char)」→「parenthes As (String, String)」
　に揃えることを検討すべきかと思います。


DBColumn 構造体のコンストラクタ
　現行版：Me.Language = language
　修正案1:Me.Language = $"{language:D}"
　修正案2:Me.Language = language.ToString("D")
　修正案3:Me.Language = CStr(language)　'非推奨
→右辺の値が Language.French の場合、現行版(暗黙の型変換時)では、左辺には "2" がセットされます。
　もしも左辺を "French" 表記にしたい場合は、D 書式の代わりに G 書式を使います。


DataGridViewCheck クラス - Function HasDgvError
　現行版：Where clms.Language = language AndAlso
　修正案1:Where System.Enum.Parse(GetType(Language), clms.Language) = language AndAlso
　修正案2:Where CInt(clms.Language) = language AndAlso
　修正案3:Where clms.Language = language.ToString("D") AndAlso
　修正案4:Where clms.Language = $"{language:D}" AndAlso
→現行版は、比較式の左辺が String、右辺が列挙型で不一致であるため、
　「Where CDbl(clms.Language) = CDbl(language) AndAlso」相当に暗黙変換されています。
→上記はいずれも、clms.Language に "2" などがセットされていることを前提としております。
　ただし修正案1 だけは、"2" の場合と "French" の場合の両方に対応することができます。


DataGridViewCheck クラス - Function CellErrorResult
　現行版：Dim isNull = Function(value) value Is Nothing OrElse value.ToString = ""
　修正案1:Dim isNull = Function(value As Object) value Is Nothing OrElse value.ToString() = ""
　修正案2:Dim isNull As Func(Of Object, Boolean) = Function(value) value Is Nothing OrElse value.ToString() = ""
　修正案3:Dim isNull = Function(value As Object) String.IsNullOrEmpty(value?.ToString())
→現行版だと value の型が定まりません(Object 扱い)ので、As 句で明示しておくか、もしくは型推論が可能な状態にします。


他にも、多数の「暗黙の型変換」に頼ったコードが見受けられましたので、一時的にでも
「Option Strict On」にしてみて、不自然な箇所を炙り出した方が良いでしょう。