ちょっと入院することになり、返信が遅れて申し訳ございません。
戻ってきてから試したら、Process.Start(url)で取得したオブジェクトのMainWindowHandleは0が返ってきて、
エラーにはなりませんでした。
当時何か問題があったのかも知れませんが、再現しませんでした。

とは言え、Process.Start(url)で取得したオブジェクトのMainWindowHandleが0ということは、
実際に起動したブラウザのWindowハンドルは得られていないということになるので、
この方法ではブラウザの特定ができなさそうです。

今回の問題は、必ずしも重要なポイントではないので、あきらめようと思います。
ありがとうございました。