PositionプロパティとLengthプロパティを比較すれば，末尾かどうかはわかります。

ちなみに，StreamReaderはその名の通り「ストリームから読み出す」ものです。
また，継承関係から分かる通り，「テキストを読み出す」ものです (TextReaderを継承している)。