ご回答ありがとうございます。

昨夜、そのボタンの DialogResult プロパティの変更を試行いたしました時には
元々の None 以外の何を選択してもエラーになってデバッグそのものが進行できませんでした。
今思えば、そこで再起動してみる事に思い至ればよかったのでしょうけれど
考え至らず、他の方法をあれこれやってみて諦めていた次第です。

で、今、再トライしてみたところ稼働しました。それで分かった事は

①　エンターキーが返す値は、そのボタンの DialogResult プロパティの値。
　　　ただし、None の時は何も返さない。
②　そのほかのキーが返す値は、Me.DialogResult = DialogResult.○✕ で書いた○✕の値。
　　　○✕が None の時は、Cancel を返す。

であるらしいと云う事です。

で、結局、Me.DialogResult = DialogResult.OK の前に
 Button1.DialogResult = DialogResult.OK を入れれば
フォームでボタンをいじるより手っ取り早いようです。

今回の教訓としては、『エンターキーだけが挙動不審な場合は
エンターキーだけが特別扱いされていないかどうか調べてみる』と云うところかと思いました。

魔界の仮面弁士さまに於かれましては、いつもながらの的確なご助言、ありがとうございました。