まりもん さん、回答ありがとう。

ご指摘いただいた値を直したところ、あっけなく解決しました。

またわからないことがありましたら、アドバイスをお願いします。

元記事のMM_MCINOTIFYの値が違いますね。
Const MM_MCINOTIFY As Integer = &H3B9
としてください。

まりもんさん、さばみそ煮さん、ご回答ありがとうございます。

とりあえず、まりもんさんに教えて頂いたHPを参考にコードを下記のように変更したのですが、
mp3ファイルを再生し終えてもメッセージが表示されません。

どのようにすれば、再生が終わったらメッセージを表示できるのでしょうか？


Const WM_MCINOTIFY As Integer = &H9B3　'mciSendString の処理終了を表す定数　　　←追加
Const MCI_NOTIFY_SUCCESSFUL As Integer  = &H1　'処理成功を表す定数　　　←追加

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As Object, _
         ByVal e As EventArgs) Handles Button1.Click

　　　'再生するファイル名
　　　Dim fileName As String = "C:\music.mid"

　　　Dim cmd As String

　　　 'ファイルを開く
　　　cmd = "open """ + fileName + """ alias " + aliasName
　　　If mciSendString(cmd, "", 0, 0) <> 0 Then　　　　←変更　
　　　　　Return
　　　End If '再生する
　　　cmd = "play " + aliasName + " notify"　　　←変更
　　　mciSendString(cmd, "", 0, Me.Handle.ToInt32)　　　←変更

End Sub


以下を追加しました。

Protected Overrides sub WndProc(ByRef m As Message)
　　　If m.Msg = WM_MCINOTIFY AndAlso m.WParam.ToInt32 = MCI_NOTIFY_SUCCESSFUL Then
　　　　　MsgBox("再生終了")
　　　End If
　　　
　　　MyBase.WndProc(m)
　　　
End Sub

WMP使うのが簡単でいいと思うけど

http://rucio.a.la9.jp/main/kikou/kikou3_mciSendString.html
こちらが参考になると思います。

表題の通りmciSendStringで再生終了時に「再生終了」というような
メッセージを表示したいのですが、再生されると同時にメッセージが
表示されてしまいます。

どのようにすれば、再生が終了してからメッセージを表示することが
できるのでしょうか?

Private Sub Button1_Click(ByVal sender As Object, _
        ByVal e As EventArgs) Handles Button1.Click
    '再生するファイル名
    Dim fileName As String = "C:\music.mid"

    Dim cmd As String
    'ファイルを開く
    cmd = "open """ + fileName + """ alias " + aliasName
    If mciSendString(cmd, Nothing, 0, IntPtr.Zero) <> 0 Then
        Return
    End If '再生する
    cmd = "play " + aliasName
    mciSendString(cmd, Nothing, 0, IntPtr.Zero)

    MsgBox("再生終了")
End Sub