KOZさん、早速ご回答ありがとうございます！
IEベースのWebBrowserControlしか知りませんでしたが、EdgeベースのWebView2なるものがあるのですね、大変勉強になりました。
早速WebView2コンポーネントを入れてみたところ、ご呈示のようなコードで無事ページ関連ファイルのURLをキャプチャすることができました。
ありがとうございました！

IE で表示できないコンテンツが増えてきたので、nuget で Microsoft.Web.WebView2 を取得し WebView2 を使ったほうがいいと思います。
WebResourceResponseReceived イベントで関連ファイルの URL をキャプチャすることが出来ますし、ファイルの中身を読み込むこともできます。
下の例は、このページに含まれる .js ファイルの中身を表示するプログラムです。

Imports System.IO

Imports Microsoft.Web.WebView2.Core



Public Class Form1



    Private WithEvents coreWebView As CoreWebView2



    Private Async Sub Form1_Load(sender As Object, e As EventArgs) Handles MyBase.Load

        Await WebView21.EnsureCoreWebView2Async()

        coreWebView = WebView21.CoreWebView2

        coreWebView.Navigate("https://keijiban.umayadia.com/ThreadDetail.aspx?ThreadId=30992")

    End Sub



    Private Async Sub CoreWebView_WebResourceResponseReceived(sender As Object,

                        e As CoreWebView2WebResourceResponseReceivedEventArgs) _

                        Handles coreWebView.WebResourceResponseReceived

        Dim uri = New Uri(e.Request.Uri)

        If uri.AbsolutePath.EndsWith(".js", StringComparison.OrdinalIgnoreCase) Then

            Dim stream = Await e.Response.GetContentAsync()

            Using reader = New StreamReader(stream)

                Debug.WriteLine($"{reader.ReadToEnd()}")

            End Using

        End If

    End Sub



End Class

WebBrowserConrolを使用してウェブページを表示する際、ウェブページのURLはNavigatingイベントやUrlプロパティなどで容易に取得可能ですが、
各ページを表示する際に発生する通信
（例えば、HTMLから呼び出されるimgファイルやjsファイル、JavaScriptによって読み込まれる各種ファイルなど）のURLをキャプチャすることは可能なのでしょうか。
（ChromeやFirefoxなどの開発ツールのネットワークタブから確認できるような内容のイメージです。）
可能であれば、その取得方法をご教授いただけないでしょうか。
どうぞよろしくお願いいたします。