BackgroundWorkerを使ってクリップボードをクリアするとエラーが起きる

DoWorkイベントにクリップボードをクリアする

Clipboard.Clear()

が実行されるときにエラーが出ます。
エラーは以下の通りです。

OLE が呼び出される前に、現在のスレッドが Single Thread Apartment (STA) モードに設定されていなければなりません。Main 関数に STAThreadAttribute が設定されていることを確認してください。

原因がわかりません。

System.Windows.Forms以下のクラスは，原則として「メインスレッドからのみ使用可能」です。
元はCOMのスレッドモデルからくる制約なのですが，
その都合上System.Windows.Forms.Clipboardもメインスレッドからのみ使用可能となります。
細かい話は「COM アパートメントモデル」あたりで検索すると出てくると思いますが……。

なので，メインスレッド側で実行できるようにするか，
EmptyClipboard APIを使ってCOMの問題を回避する，
というのが例外の回避方法になると思います。

MSDN: EmptyClipboard Function (Windows)
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms649037.aspx

bw:BackgroundWorker
bw.WorkerReportsProgress = True


    Private Sub bw_DoWork(ByVal sender As Object, ByVal e As System.ComponentModel.DoWorkEventArgs) Handles bw.DoWork
        bw.ReportProgress(50)   '<--- 50は適当な整数
    End Sub

    Private Sub bw_ProgressChanged(ByVal sender As Object, ByVal e As System.ComponentModel.ProgressChangedEventArgs) Handles bw.ProgressChanged
        Clipboard.Clear()　　　　'<---  e.ProgressPercentageで処理を分岐してもよいかも
    End Sub

のようにメインスレッドに処理を戻せば可能です。