テキストボックス

掲示板やチャット、メモ帳などの文字入力をするところにTextBox1に入力してある文字を入力させるためにはbutton1にどのような記述をすればよいのでしょうか？

頑張れば出来ないことはないと思いますが、
とりあえず
TextBox1.SelectAll()
TextBox1.Copy()
でクリップボードへ入りますのでそれでは駄目でしょうか？
 

バージョンが書いていなかったので最新版のVB2010 SP1として回答します。

掲示板・チャット・メモ帳、それぞれどのようなアプリケーションを使ってどのようにアクセスしているのかによって方法はまったく異なりますし、そのアプリケーションによってはそのようなことは実現不可能かもしれません。

とりあえず、メモ帳に「こんにちは！」と書き込む例を紹介します。
SP1

Public Class Form1



    <DllImport("user32")>

    Private Shared Function FindWindow(lpClassName As String, lpWindowName As String) As IntPtr



    End Function



    <DllImport("user32")>

    Private Shared Function FindWindowEx(hWnd1 As IntPtr, hWnd2 As IntPtr, lpsz1 As String, lpsz2 As String) As IntPtr



    End Function



    <DllImport("user32")>

    Private Shared Function SendMessage(hWnd As IntPtr, wMsg As UInteger, wParam As Integer, lParam As String) As Long



    End Function



    Private Sub Button1_Click(sender As System.Object, e As System.EventArgs) Handles Button1.Click



        '起動している「メモ帳」に「こんにちは！」を書き込む 

        Dim hNotePad As IntPtr = FindWindow("Notepad", Nothing)

        Dim hEdit As IntPtr = FindWindowEx(hNotePad, IntPtr.Zero, "Edit", Nothing)



        Const WM_SETTEXT = &HC

        SendMessage(hEdit, WM_SETTEXT, 0, "こんにちは！")



    End Sub

End Class