System.Windows.Forms以下のクラスは，原則として「メインスレッドからのみ使用可能」です。
元はCOMのスレッドモデルからくる制約なのですが，
その都合上System.Windows.Forms.Clipboardもメインスレッドからのみ使用可能となります。
細かい話は「COM アパートメントモデル」あたりで検索すると出てくると思いますが……。

なので，メインスレッド側で実行できるようにするか，
EmptyClipboard APIを使ってCOMの問題を回避する，
というのが例外の回避方法になると思います。

MSDN: EmptyClipboard Function (Windows)
http://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms649037.aspx